預防醫(yī)學/正態(tài)分布和醫(yī)學正常值范圍的估計
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一、正態(tài)分布
（一）正態(tài)分布的圖形
將表18-1的110名20歲健康男大學生身高頻數(shù)分布繪成圖18-1中的（1），可見高峰位于中部，左右兩側大致對稱。可以設想，如果抽樣觀察例數(shù)逐漸增多，組段不斷分細，就會逐漸形成一條高峰位于中央（均數(shù)所在處）、兩側完全對稱地降低、但永遠不與橫軸相交的鐘型曲線（圖18-1中的（3）），這條曲線近似于數(shù)學上的正態(tài)分布（normal distribution）曲線。
統(tǒng)計學家按其變化參數(shù)，推導出正態(tài)分布密度函數(shù)f（X）
－∞＜X＜+∞公式（18.16）
式中μ為均數(shù)；σ為標準差；π為圓周率；е為自然對數(shù)的底，即2.71828。以上均為常數(shù)，僅X為變量。
為了應用方便，常將式（18.16）進行變量變換—u變換（即u=（X-μ）/σ），u變換后，μ=0，σ=1，使原來的正態(tài)分布變換為標準正態(tài)分布（standard normaldistribution）亦稱u分布，如圖18-2。
圖18-1 頻數(shù)分布逐漸接近正態(tài)分布示意
圖18-2 正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的面積與縱高
此時，式（ 18.16）化成
- ∞＜u＜+∞ 公式（18.17）
式中，φ（u）為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)，即縱軸高度。
根據X和u的不同取值，分別按式（18.16）和式（18.17）可以繪出正態(tài)分布和標準正態(tài)分布的圖形（圖18-2）。
（二）正態(tài)分布的特征
由式（18.16 ）gn (18.17)可看出正態(tài)分布有下列特征：①正態(tài)曲線（normal curve）在橫軸上方均數(shù)處最高。②正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。③正態(tài)分布兩個參數(shù)（parameter），即均數(shù)μ和標準差σ；常用N（μ，σ）表示均數(shù)為μ、標準差為σ的正態(tài)分布；所以標準正態(tài)分布用N（0，1）表示。④正態(tài)曲線在±1σ處各有一人拐點。⑤正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律。
二、正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律
正態(tài)曲線下一定區(qū)間的面積可以通過對式（18.16）和式（18.17）積分求得。為了省去計算的麻煩，有人按式（18.17）編成了附表18-1“標準正態(tài)分布曲線下的面積”通過查表可求出正態(tài)曲線下某區(qū)間的面積，進而估計該區(qū)間的觀察例數(shù)占總例數(shù)的百分數(shù)或變量值落在該區(qū)間的概率。查表時應注意：①表中曲線下面積為自-∞到u的面積；②當μ，σ已知時，先根據u變換（即u=（X-μ）/σ）求得u值，再查表；③當μ，σ未知且樣本含量n足夠大時，常用樣本均數(shù)x和樣本標準差s分別代替μ和σ進行u變換［即u=(X-μ)/S］，求得u的估計值，再查表；④曲線下對稱于0的區(qū)間面積相等，如區(qū)間（-∞，-1.96）與區(qū)間（1.96，+∞）的面積相等；⑤曲線下橫軸上的總面積為100%或1。
下面三個區(qū)間的面積應用較多，要求記住，并結合圖18-3理解其意義。①標準正態(tài)分布時區(qū)間（-1，1）或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-1σ，μ+1σ）的面積占總面積的68.27%；②標準正態(tài)分布時間（-1.96,1.96）或正態(tài)分布時區(qū)間（μ-1.96,μ+1.96）的面積占總面積的95.00%；③標準正態(tài)分布區(qū)間（-2.58,2.58）或正態(tài)分布時間區(qū)（μ-2.58,μ+2.58）的面積占總面積的99.00%。
圖18-3 正態(tài)與標準正態(tài)曲線及其面積分布
三、醫(yī)學正常值范圍的估計
（一）正常值范圍（normal range）的意義
正常值是指正常人體或動物體的各種生理常數(shù)，正常人體液和排泄物中某種生理、生化指標或某種元素的含量，以及人體對各種試驗的正常反應值等。由于存在變異，各種數(shù)據不僅因人而異，而且同一個人還會隨機體內外環(huán)境的改變而改變，因而需要確定其波動的范圍，即正常值范圍。
制定正常值范圍，①首先要確定一批樣本含量足夠在的“正常人”。所謂“正常人”不是指機體任何器官、組織的形態(tài)及機能都正常的人，而是指排除了影響所研究指標的疾病的有關因素的同質人群。②根據指標的實際用途確定單側或雙側界值：若某種指標過高或過低均屬異常，需要確定正常值范圍的下限和上限，如白細胞計數(shù)；若某指標過高為異常，需確定上限，如尿鉛；若某指標過低為異常，需確定下限，如肺活量。③根據研究目的的和實用要求選定適當?shù)陌俜纸缰担Ｓ?0%、90%、95%或99%，其中最常用的是95%。④根據資料的分布特點，選用恰當?shù)慕缰涤嬎惴椒ǎ缯龖B(tài)分布資料用正態(tài)分布法；對數(shù)正態(tài)分布資料用對數(shù)正態(tài)分布法；偏態(tài)分布資料用百分位數(shù)法。
（二）正常值范圍估計
計算正常值百分界值的方法甚多，如正態(tài)分布法、對數(shù)正態(tài)分布法、正態(tài)概率紙法、百分位數(shù)法、曲線擬合法、容許區(qū)間法等。現(xiàn)以95%正常值范圍為例，主要介紹以下三種。
1．正態(tài)分布法：適用于正誠或近似正態(tài)分布資料。
雙側界值：x±1.96s
單側上界：x+1.645s
單側下界：x-1.645s
2．對數(shù)正態(tài)分布法：適用于對數(shù)正態(tài)分布資料。
雙側界值：lg-1(xlgx±1.96slgx)
單側上界：lg-1（xlgx+1.645slgx）
單側下界：lg-1（xlgx-1.645slgx）
3．百分位數(shù)法：常用于偏態(tài)分布資料。
雙側界值：P2.5和P97.5
單側上界：P95
單側下界：P5
例18.13 試估計表18-1中110名20歲健康男大學生身高的95%正常值范圍。
該指標計算雙側界值
x±1.96s=172.73±1.96×4.09
該指標的95%正常值范圍為 164.71～180.75(cm)
例18.14 某年某市調查了200例正常成人血鉛含量（μg/100g）如下，試估計該市成人血鉛含量95%正常值范圍單側上界。
| 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 8 | 8 | 8 | 8 |
| 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 9 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| 10 | 10 | 10 | 11 | 11 | 11 | 11 | 11 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 12 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 |
| 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 13 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 14 | 15 | 15 | 15 |
| 15 | 15 | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 16 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 | 17 |
| 17 | 17 | 18 | 18 | 18 | 18 | 18 | 19 | 19 | 19 | 19 | 19 | 19 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| 20 | 21 | 21 | 21 | 21 | 21 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 23 | 23 | 23 | 24 | 24 | 24 | 24 | 24 |
| 24 | 25 | 25 | 26 | 26 | 26 | 26 | 26 | 27 | 27 | 28 | 28 | 29 | 29 | 30 | 30 | 31 | 31 | 31 | 31 |
| 32 | 32 | 32 | 32 | 32 | 32 | 33 | 33 | 36 | 38 | 38 | 39 | 40 | 41 | 41 | 43 | 47 | 50 | 53 | 60 |
該資料為偏態(tài)分布，經對數(shù)變換（即原始數(shù)據取對數(shù)）后，整理成頻數(shù)表，見表18-5。從頻數(shù)分布看，近似正態(tài)分布，計算對數(shù)形式的均數(shù)與標準差，得：
xlgx=Σflgx/Σf=230.0/200=1.15
其95%正常值范圍的單側上界為lg-1xlgx+1.645slgx）=lg-11。5942=39(μg/100g)
即該市正常成人血鉛含量的95%正常值為39μg/100g以下。
例18.15 試用百分位數(shù)法估計例18.14資料的95%正常值的單側上界。
該資料不經對數(shù)轉換時為偏態(tài)分布，也可用百分位數(shù)法估計。先整理成頻數(shù)表，見表18-6。
P95=L+i/f95(n×95%-ΣfL)=38+5/7(200×95%-189)=38.7(μg/100g)
表18-5 200名血鉛值對數(shù)變換后的頻數(shù)表及gx slgx計算表
| 對數(shù)組段 | 頻數(shù)f | 組中值（lgX） | flgX | FlgX2 |
| 0.45～ | 1 | 0.5 | 0.5 | 0.25 |
| 0.55～ | 5 | 0.6 | 3.0 | 1.80 |
| 0.65～ | 10 | 0.7 | 7.0 | 4.90 |
| 0.75～ | 20 | 0.8 | 16.0 | 12.80 |
| 0.85～ | 11 | 0.9 | 9.9 | 8.91 |
| 0.95～ | 21 | 1.0 | 21.0 | 21.00 |
| 1.05～ | 29 | 1.1 | 31.9 | 35.09 |
| 1.15～ | 25 | 1.2 | 30.0 | 36.00 |
| 1.25～ | 30 | 1.3 | 39.0 | 50.07 |
| 1.35～ | 20 | 1.4 | 28.0 | 39.20 |
| 1.45～ | 16 | 1.5 | 24.0 | 36.00 |
| 1.55～ | 8 | 1.6 | 12.8 | 20.48 |
| 1.65～ | 3 | 1.7 | 5.1 | 8.67 |
| 1.75～1.84 | 1 | 1.8 | 1.8 | 3.24 |
| 合計 | 200 | 230.00 | 279.04 |
表18-6 200名血鉛值頻數(shù)表及P95計算表
| 組段 | 頻數(shù)f | 累計頻數(shù)Σf | 累計頻率（%） |
| 3～ | 36 | 36 | 18.0 |
| 8～ | 39 | 75 | 37.5 |
| 13～ | 47 | 122 | 61.0 |
| 18～ | 30 | 152 | 76.0 |
| 23～ | 18 | 170 | 85.0 |
| 28～ | 16 | 186 | 93.0 |
| 33～ | 3 | 189 | 94.5 |
| 38～ | 7 | 196 | 98.0 |
| 43～ | 1 | 197 | 98.5 |
| 48～ | 1 | 198 | 99.0 |
| 53～ | 1 | 199 | 99.5 |
| 58～62 | 1 | 200 | 100.0 |
 離散趨勢指標 | 附表：標準正態(tài)分布曲線下的面積  |
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