預防醫學/均數的抽樣誤差和總體均數的估計

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預防醫學

計量數據分析(二)
- 均數的抽樣誤差和總體均數的估計
- 假設檢驗的基本步驟
- u檢驗和t檢驗
- 方差分析
- 假設檢驗中的兩類錯誤及注意事項

一、均數的抽樣誤差

第十六章講了總體與樣本的關系。抽樣研究的目的是用樣本信息推斷總體特征。假設要了解某地20歲健康男大學生身高的總體均數，我們在該地隨機抽取了110名健康男大學生，得身高的樣本均數為172.73(cm)，可用它估計該地20歲健康男大學生身高的總體均數。由于存在變異，用樣本算得的樣本均數x往往不等于總體均數μ；若再從該地20歲健康男大學生中隨機抽取含量皆為110人的很多個樣本，因各樣本包含的個體不同，所得的各個樣本均數也不一定都相等，這種由抽樣而造成的樣本均數與總體均數之差異或各樣本均數之差異稱為均數的抽樣誤差。

在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的，但可以估計其大小，可通過下面的模擬試驗說明。現把例18.2中110名20歲健康男大學生的身高寫在110個玻璃球上，把該110個身高數值作為假設的有限總體，其總體均數μ=172.73(cm)，標準差σ為4.09(cm)。將這些玻璃球放在布袋中作隨機抽樣試驗，每次從中隨機抽取10個玻璃球為一樣本，記錄下數據并計算其均數、標準差、然后把10個玻璃球再放入布袋，充分混勻后再抽，共重復100次，求得100個樣本均數x和標準差s，其樣本均數入表19-1。

表19-1 100個球樣本均數

173.22	172.06	170.89	174.07	172.60	173.14	172.61	172.26	171.93	172.85
175.23	173.76	174.77	172.57	171.76	172.74	173.36	173.69	171.10	173.40
173.87	172.70	173.23	173.08	172.46	171.54	171.72	170.95	172.89	173.43
170.61	173.82	171.02	173.11	172.51	172.07	171.60	171.79	172.98	172.05
171.11	173.66	171.21	173.15	172.12	172.53	173.21	173.25	172.03	172.42
175.02	171.45	173.76	176.02	173.52	172.28	170.59	171.93	173.54	172.44
172.05	173.44	174.01	172.77	174.04	171.37	172.07	173.85	173.06	170.41
171.88	173.38	172.83	170.89	174.55	171.45	174.11	171.88	172.78	173.73
171.73	172.58	174.50	172.58	172.89	173.40	174.21	172.34	171.18	171.19
172.70	172.77	173.47	172.13	172.56	172.13	169.63	170.71	172.63	172.14

上述模擬試驗的結果表明，在抽樣研究中抽樣誤差是不可避免的。反映均數抽樣誤差大小的指標是樣本均數x的標準差，簡稱標準誤（standard error）。

二、標準誤的計算

按照前述標準差的加權計算法，將表19-1的資料歸納成表19-2，可看出樣本均數的分布仍服從正態分布，然后按式（18.2），（18.14）計算樣本均數的均數（記作x）和樣本均數的標準差（記作sx）。

表19-2　100個樣本均數的頻數表及x、sx計算表

身高組段（cm）	頻數f	組中值f	fX	FX2
169～	1	169.5	169.5	28730.25
170～	7	170.5	1193.5	203491.75
171～	19	171.5	3258.0	558832.75
172～	36	172.5	6210.0	1071225.00
173～	26	173.5	4511.0	782658.50
174～	8	174.5	1396.0	243602.00
175～	2	175.5	351.0	61600.50
176～177	1	176.5	176.5	31152.25
合計	100		17266.0	2981293.00

數學上可以證明：①各樣本均數的均數x等于μ；②標準誤σx（理論值）按式（19.1）計算

σx＝σ／x公式（19.1）

式中，σ為總體標準差，n為樣本含量。

本試驗各樣本試驗均數的均數x=172.66(cm)與μ=172.73（cm）相近，按式（19.1）算得的σx=4.09／x=1.29（cm）與本試驗所得的樣本均數的標準差sx=1.21（cm）也很接近。

在實際的抽樣研究中，σ常屬未知，通常用單一樣本標準差s來估計，得出標準誤sx（估計值），其計算公式為：

sx＝s／x　公式（19.2）

例如模擬試驗中1號樣本的標準差s=4.05（cm），其標準誤sx（估計值）=4.05/x=1.28（cm）。

標準誤sx用來說明抽樣誤差的大小。由式（19.1）、（19.2）可知，標準誤的大小與標準差的大小成正比，與x成反比。

三、t分布（t-distribution）

在前一章正態分布中曾提到，為了應用方便，常將正態變量進行變量變換-u變換［u=（X-μ）/σ］，使一般的正態分布變換為標準正態分布。上述抽樣模擬試驗表明，在正態分布總體中以固定n（本試驗n=10）抽取若干樣本時，樣本均數x的分布仍服從正態分布，即N（μ,σx）。那末，對此進行u變換［u=(x-μ）/σx］，也可變換為標準正態分布N（0，1），如圖19-1。

標準正態分布示意圖

圖19-1 標準正態分布示意圖

由于實際工作中，σ往往是未知的，常用sx作為σx的估計值，為與u變換區別，稱為t變換［t=（x-μ）/sx］，t值的分布為t分布。t分布的特征：①是以0為中心的對稱分布的曲線；②其形態變化與n（確切地說與自由度v）大小有關。自由度v越大，t分布越接近u分布；自由度越小，t 分布中間越低平且兩端向外伸展，所以t分布不是一條曲線，而是一簇曲線，如圖19-2。因此，t曲線下面積為95%或99%的界值不是一個常量，而是隨自由度大小而變化的。為了便于應用，統計學上根據自由度大小與t曲線下面積的關系，換算出t值表（附表19-1）以備參考。因t分布是以0為中心的對稱分布，故附表19-1只列出正值，若算得的t值為負值時，可用其絕對值查表。

自由度分別為1、5、∞的t分布

圖19-2 自由度分別為1、5、∞的t分布

四、總體均數可信區間（confidence interval）的估計

用樣本指標（統計量，statistic）來估計總體指標（參數，parameter），稱為參數估計。是抽樣研究的主要目的之一。參數估計的方法有兩種。一是點（值）估計（point estimation），如用樣本均數估計總體均數。該法簡單，但未考慮抽樣誤差，而抽樣誤差在抽樣研究中又是不可避免的；二是用區間估計（interval estimation），即按一定的可信度估計未知總體均數所在范圍。統計上習慣用95%（或99%）可信區間表示總體均數μ有95%（或99%）的可能在某一范圍。下面以總體均數μ的95%可信區間為例，介紹其計算公式。σ已知時按正態分布原理計算，σ未知時按t分布原理計算。

（一）σ已知時：由u分布可知，正態曲線下有95%的u值在±1.96之間，即：

-1.96≤u≤+1.96